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链式法则证明

链式法则(英文chain rule)是微积分中的求导法则,用以求一个复合函数的导数,是在微积分的求导运算中最常用的方法。

令 z = dy/dx = dy/du * du/dx 那么 d^2y/dx^2 = dz/dx = dz/du * du/dx = d(dy/du * du/dx)/du * du/dx = d(dy/du)/du * du/dx * du/dx + dy/du * d(du/dx)/du * du/dx = d^2y/du^2 * (du/dx)^2 + dy/du * d^2u/dx^2

证法一:先证明个引理 f(x)在点x0可导的充要条件是在x0的某领域U(x0)内,存在一个在点x0连续的函数H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)从而f'(x0)=H(x0) 证明:设f(x)在x0可导,令 H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U'(x0)(x0去心领域);H(x)=f'(x0),x=x0 ...

这个就是链锁规则,证明在教材上会有的,至少类似。

由于 f 在 x=x0 二阶可导,则f 在 x=x0 附近可导,且在 x=x0 处连续,于是应用洛必达法则,有 lim(h→0)[f(x0+h)+f(x0-h)-2f(x0)]/h² (0/0) = lim(h→0)[f'(x0+h)-f'(x0-h)]/(2h) = (1/2)*{lim(h→0)[f'(x0+h)-f'(x0)]/h + lim(h→0)[f'(x0-h)-...

微分就是切空间的线性映射,链式法则就是说复合函数的微分是微分的复合。而对于1维微积分而言,线性映射就是数乘,而数乘的复合就是简单乘法。

b不对, 仅当f'(a)和F'(a)存在时才能用, 而洛必达法则使用的场景里面很多f(x)在a点连定义都没有,所以,千万别用。 链式法则中, y'=f'(u)·g'(x) u等不等于0,都没有影响, x=x0时,u=0 则 y'(x0)=f'(0)·g'(x0)

可见 多元复合函数可微性的证明 齐军霞 证明可微后就好证偏导数了

对D中任意一点(x,y),记一元函数 g(t) = f(tx, ty),0

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